Transcript: How (and why) to take a logarithm of an image — 3Blue1Brown

Quand je fais une vidéo, il y a parfois un moment un peu magique où le fait d’animer m’oblige à résoudre tout un tas de petits casse-têtes techniques, et là les maths que j’essaie d’expliquer finissent par faire tilt pour moi d’une façon complétement inanticipée, une fois que je les vois prendre vie à l’écran. Les moments où ça m’arrive le plus me laissent souvent penser qu’une vidéo va devenir une de mes préférées, et composer la fin de la vidéo que vous allez voir, a été exactement un de ces moments où j’ai eu cette impression. En fait, notre histoire d’aujourd’hui ne commence pas dans une salle de cours de maths. On commence dans l’atelier d’art. Imaginez que vous êtes dans une galerie d’art, en train de regarder l’image d’un bateau dans un port, et que tout le monde se déforme à mesure que votre regard monte vers la droite, là où vous voyez un village sur ce front de mer. Parmi les bâtiments serrés les uns contre les autres, le monde se déforme encore plus quand votre regard descend vers l’entrée d’un bâtiment, qui mène à un couloir rempli d’œuvres d’art. Et au bout de ce couloir, vous revoilà, en train de fixer l’image d’un bateau. Voici la lithographie de M.C.Escher de 1956, La Galerie d’estampes, ou en néerlandais, Prentententoonstelling.

[00:01:05] Dans une lettre qu’il a écrite à son fils, où il décrit la création d’un jeune homme regardant avec intérêt une gravure dans laquelle il se voit lui-même, Escher a dit que c’était “la chose la plus singulière que j’aie jamais faite”, ce qui, venant de lui, veut dire beaucoup. L’art d’Escher est aimé un peu partout dans le monde, et met souvent en scène des thèmes paradoxaux ou des motifs géométriques particulièrement satisfaisants, avec une vraie personnalité. Cet attachement est encore plus marqué chez les mathématiciens, parce que son art touche souvent à des idées étonnamment profondes en maths, alors même qu’Escher n’avait aucune formation officielle dans le domaine. La Galerie d’estampes en donne un exemple parfait. En 2003, les mathématiciens De Smit et Lenstra ont proposé une analyse délicieuse de ce qui se passe vraiment dans cette œuvre, et de la vertigineuse boucle à l’infini qu’Escher a réussi à créer. Un de mes objectifs principaux avec cette vidéo, c’est de vous proposer une explication visuelle de leur analyse, avec comme toujours l’idée de vous donner l’impression que vous auriez

[00:02:03] pu redécouvrir ça vous-même. Un truc qui ressort de façon inattendue de cette analyse, c’est une réponse à la question de ce qui devrait exactement apparaître au milieu de cette image. Au début, ça peut sembler être une question incohérente. Si on l’aborde par le coin supérieur droit, on a l’impression qu’il devrait y avoir des bâtiments du village, mais si on y arrive par la gauche, ça ressemble plutôt à une partie du cadre de l’image. Si on y arrive par en bas, par contre, ça semble plus naturel que ce soit une partie de la galerie elle-même. D’une certaine façon, toute l’ambiguïté sur l’endroit exact où on se trouve dans cette scène est compressée dans ce cercle vide au milieu. Et juste pour s’amuser, vu qu’on est dans les années 2020, j’ai demandé à une IA, un modèle de diffusion, de remplir ça. Sans surprise, il galère énormément. Il ne comprend juste pas du tout. Et pour rendre justice à la pauvre machine, évidemment qu’elle galère. On a l’impression que c’est une partie de la scène intrinsèquement ambiguë et mal définie. Mais malgré ça, à la fin de la vidéo, j’espère que vous serez d’accord pour dire qu’il existe une seule et.unique façon de compléter le centre, qui donne l’impression d’être la bonne pièce du puzzle à insérer.

[00:03:02] Avant de plonger dans les maths, j’ai envie de vous donner une description purement intuitive de la façon dont Escher a réellement fabriqué cette œuvre, et ça se découpe en trois étapes différentes. La première étape, c’est de partir d’une version non-deformée du même concept général, où un homme regarde une image. Cette image contient un port, qui contient une ville, qui contient une galerie d’estampes, qui contient ce même homme, et ainsi de suite. On pourrait zoomer pour toujours, autant qu’on veut. Cette idée d’une mise en abyme, où l’image est contenue à l’intérieur d’elle-même, a un nom particulier chez les graphistes. On appelle ca l’effet Droste, du nom d’une marque de cacao qui l’avait mis dans son image de marque. En fait, ca a l’air d’avoir été un procédé marketing assez courant pour toutes sortes de produits du début du XXe siècle. La mise en abyme qu’utilise Escher, elle, implique un zoom bien, bien plus profond que n’importe laquelle de celles-là, où la copie auto-similaire est 256 fois plus petite que l’originale.

[00:04:00] Vous allez voir d’où vient ce nombre dans une seconde. Le génie d’Escher, c’est qu’il a en quelque sorte compris intuitivement qu’il devait y avoir un moyen de prendre ce concept d’une image emboîtée en elle-même et de le transformer en cette boucle déformée où le zoom avant se fait implicitement pendant que le regard du spectateur se promène autour du cercle. Au fait, vous vous demandez peut-être d’où je sors cette version non-deformée, et la réponse, c’est que les deux mathématiciens que j’ai mentionnés plus tôt m’ont généreusement laissé l’utiliser. C’est quelque chose qu’ils ont en fait rétroconçu à partir de l’œuvre originale d’Escher avec l’aide de deux artistes néerlandais, Hans Richter et Jacqueline Hofstra. La façon dont ils l’ont rétroconçue est en fait super intéressante. D’une certaine manière, ça consiste à prendre le logarithme de l’œuvre originale. Je sais bien que cette phrase doit sans doute sembler absurde pour l’instant, mais plus tard dans cette vidéo, je vous promets que ca aura complètement du sens. Pour esquisser l’idée de base de la manière dont Escher a fabriqué cette boucle, je veux utiliser un exemple plus simple que celui sur lequel il travaillait,

[00:05:00] donc on va afficher cette mise en abyme faite sur mesure, où M. Pi regarde une image encadrée d’une maison où vit ce même M. Pi. Dans cet exemple, la copie auto-similaire est seulement 16 fois plus petite que l’originale, et ça rend juste tout beaucoup plus facile à voir d’un seul coup. Ce que je vais faire, c’est garder ici à droite un espace de travail séparé pour esquisser l’objectif général qu’on a en tête : l’idée, c’est qu’on veut répartir ce facteur de zoom de 16 sur les quatre coins du carré. Par exemple, disons qu’on veut que M. Pi lui-même apparaisse à peu près à la même taille dans le coin inférieur gauche. Alors si on zoome d’un facteur 2 dans l’originale, on prend ce qui serait en haut à gauche de cette version zoomée, puis on le place en haut à gauche de notre espace de travail. De même, on zoome encore d’un facteur 2, puis on prend le coin supérieur droit de cette version zoomée, et maintenant on en place une version agrandie dans le coin supérieur droit de notre espace de travail. Enfin, encore une étape : on zoome encore d’un facteur 2,

[00:06:00] on prend ce qui est dans le coin inférieur droit de cette version zoomée, on l’agrandit, et on le place dans le coin inférieur droit de notre espace de travail. Ces quatre coins découpés donnent une idée grossière de ce qu’on veut créer ici. Tant qu’on peut trouver une manière fluide de remplir les espaces entre eux, alors, pendant que le regard de l’observateur se promène autour d’un cercle sur cette image, ce qu’il voit va zoomer encore et encore jusqu’à rejoindre élégamment la partie auto-similaire de l’image 16 fois plus petite. On pourrait juste essayer de tout raccorder naïvement, quelque chose comme ça, mais franchement ça n’a pas l’air très réussi, et ce n’est certainement pas aussi fluide ni aussi élégant que ce qu’Escher a réussi à faire, donc on a encore du pain sur la planche. Ce livre que je feuillette depuis tout à l’heure, The Magic of M.C. Escher, je l’ai acheté lors d’une visite merveilleuse au musée Escher de La Haye, que je vous recommande vivement si jamais vous passez aux Pays-Bas, et quand on arrive à la section sur la galerie d’estampes, il nous donne un petit aperçu de ce qu’était réellement le processus d’Escher. Pour lui, la deuxième étape, c’était de créer cette grille déformée.

[00:07:03] Pour les animations ici, je vais afficher une légère modification de cette grille qui est en gros juste un peu plus agréable à générer mathématiquement, mais qui illustre le même point essentiel. Dans son cas, la mise en abyme sur laquelle il travaillait a un facteur d’échelle de 256, donc pour répartir ça sur les quatre coins, pour lui il fallait appliquer un facteur d’échelle de quatre quand on passe d’un coin au suivant. Et si on regarde bien sa grille, par exemple l’un des carrés en bas à droite, remarquez que si on suit vers le bas à gauche de l’image les lignes du haut et du bas qui délimitent ce carré, ces mêmes lignes finissent par entourer un carré qui est maintenant quatre fois plus grand. Et de la même façon, si on regarde les lignes qui bordent la gauche et la droite d’un petit carré dans cette zone, et qu’on les suit vers le haut, elles finissent par entourer un carré qui est bien quatre fois plus grand. Donc la grille code en quelque sorte le changement d’échelle d’un coin au suivant qu’on veut obtenir. Maintenant pour notre petit projet, où on a seulement besoin de grossir d’un facteur 2 d’un coin au suivant, on va utiliser une version modifiée de ça,

[00:08:02] mais l’idée générale sera la même. On peut naturellement se demander d’où sort cette grille, mais en fait je veux remettre cette question à plus tard et passer directement à l’étape trois, à savoir comment on peut vraiment utiliser cette grille avec la mise en abyme de départ pour créer l’effet final d’Escher. L’idée, c’est d’abord de poser une grille carrée ordinaire sur l’image d’origine, et disons qu’on veut que cette portion ici finisse dans ce coin de notre version finale. Ce qu’on ferait, c’est prendre chaque tout petit carré à l’intérieur, puis recopier son contenu dans le tout petit carré correspondant de la version déformée de la grille. À partir de là, chaque carré voisin dans notre grille d’origine est forcé d’aller vers le carré voisin correspondant dans la version déformée, donc on peut un peu simplement suivre où l’image doit aller en suivant la grille. Et le fait que les lignes de la grille dans la version déformée s’espacent d’un facteur 2 quand on va d’en bas à gauche vers en haut à gauche veut dire que l’échelle de notre

[00:09:00] scène est automatiquement multipliée par ce facteur 2 quand on remonte le long de cette ligne. L’idée de ce procédé, c’est qu’en tant qu’artiste, c’est relativement simple d’avancer morceau par morceau, en recopiant ce qu’il y a dans un petit carré vers un autre petit carré, parce qu’à cette petite échelle les choses ne sont pas trop déformées. C’est carrément, carrément plus facile que d’essayer d’imaginer puis de dessiner l’image finale déformée en partant de rien avec juste une page blanche devant soi. Donc en gros, avec cette grille déformée en main, le processus qui consiste à recopier chaque petit carré devient agréablement automatique, et si on laisse ce processus automatique faire tout le tour, ça se referme joliment sur la position initiale, et pour que ça marche, il faut que notre image d’origine ait cette autosimilarité quand on zoome d’un facteur 16. J’espère que vous serez d’accord pour dire que le résultat final qu’on a est vraiment sympa, il recrée le même effet général, mais surtout je pense qu’il permet à tous d’apprécier plus profondément la composition d’Escher. En fait, il avait choisi très délibérément les images à toutes les échelles distinctes.

[00:10:03] Je cite : j’ai choisi très intentionnellement des types d’objets en série, comme par exemple une rangée d’estampes le long du mur, ou des blocs de maisons dans une ville. Sans les éléments cycliques, il serait d’autant plus difficile de faire passer mon intention auprès du spectateur moyen. Cette idée où on a une image de référence droite puis une grille déformée, et où on utilise les deux ensemble pour créer une scène déformée, c’est un procédé courant en design graphique. Ça s’appelle une déformation par maillage, et Escher ne l’a pas inventée pour ce cas-là, c’est quelque chose qu’il avait déjà utilisé plusieurs fois auparavant pour d’autres œuvres. Pour notre histoire, le point important, c’est que toute la logique qui permet de transformer une mise en abyme en boucle est abstraite et dépouillé dans cette grille, ce qui amène naturellement la question : d’où vient cette grille ? Comment on fabrique ça ? On peut imaginer qu’au début, avec une approche naïve, on essaierait de mettre tout à l’échelle de façon linéaire d’un coin au suivant, mais si on faisait ça, on verrait tout de suite qu’il y a un truc qui va pas.

[00:11:01] Ces deux processus de mise à l’échelle exercent des pressions différentes sur les petits carrés : par exemple, ce carré veut s’élargir dans cette direction à cause du zoom avant venant de la droite, mais il veut aussi s’élargir dans cette autre direction à cause du zoom arrière quand on monte. Escher a visiblement été amené à résoudre ça en courbant toutes les lignes pour relâcher cette tension. Mais il y a une autre contrainte cruciale qui semble l’avoir guidé, une contrainte qui a sans doute rendu le processus de transfert d’image plus facile, qui a donné un résultat final plus naturel, et qui fera immédiatement tiquer n’importe quel mathématicien qui connaît l’analyse complexe. Dans sa grille déformée finale, les petits carrés sont, eh ben, des carrés. Pour être clair, ce n’est pas du tout vrai pour la plupart des déformations par maillage. Dans la plupart des cas, les lignes de grille déformées qu’on trace ne se coupent pas forcément à angle droit, et les petites régions qu’elles délimitent seront en général de petits parallélogrammes. Ça peut quand même marcher pour un artiste, on peut quand même faire le transfert,

[00:12:00] mais l’acte de recopier de l’original vers la version déformée est sans doute plus difficile quand on a cette distorsion, donc c’est bien plus pratique si, dans la grille déformée, les petits carrés restent au moins approximativement carrés. Et quand on regarde de près la grille qu’Escher a utilisée pour sa Galerie d’estampes, elle a cette propriété. Toutes les lignes se coupent à angle droit, et à une échelle assez petite, les régions qu’elles délimitent sont vraiment approximativement des carrés. Artistiquement, ça a l’effet sympa que même si toute la scène est fortement déformée et distordue à grande échelle, quand on zoome à l’échelle locale, tout est relativement peu déformé. C’est ce qui fait que chaque partie locale de l’image d’Escher est facilement reconnaissable. Et mathématiquement, c’est là que l’histoire devient vraiment intéressante. Vous voyez, cette idée d’une fonction de l’espace à deux dimensions vers l’espace à deux dimensions, où de tout petits carrés restent approximativement carrés, joue un rôle particulier et a un nom particulier en maths. Ça s’appelle une application conforme, et un domaine où ça revient tout le temps, c’est l’étude des fonctions à valeurs d’entrée complexes et à valeurs de sortie

[00:13:03] complexes. À ce stade, on va prendre un peu de recul, sortir de la salle d’arts et aller se promener du côté du département de maths, où je veux vous proposer une mini-leçon sur quelques idées centrales de ce domaine. Le plan de base à partir d’ici, c’est que je veux d’abord faire un petit rappel, revoir quelques bases sur les nombres complexes et les fonctions complexes, puis je veux passer un vrai moment à construire une intuition de ce à quoi ressemblent les logarithmes dans ce contexte des nombres complexes. Et puis une fois que vous aurez ça en main, on va parcourir une manière complètement différente de penser à la création de cet effet qu’Escher a produit dans sa Galerie d’estampes. Pour se mettre en jambes, faisons un rappel des bases. On pense en général aux nombres réels comme vivant sur une droite à une dimension, la droite réelle, et les nombres complexes sont bidimensionnels. Plus précisément, on pense à la constante imaginaire i, définie comme la racine carrée de -1. Et tous les autres points de ce plan représentent une combinaison d’un nombre réel plus un multiple réel de i.

[00:14:03] On utilise généralement la variable z pour parler d’un nombre complexe quelconque, et le jeu auquel on veut jouer, c’est d’observer différentes fonctions de z. Un exemple très simple mais important, c’est de multiplier z par une constante. La fonction f de z égale deux fois z a pour effet de tout agrandir par un facteur deux. Mais qu’est-ce qui se passe quand on multiplie par quelque chose d’imaginaire, comme i, la racine carrée de moins un ? Eh ben on sait que multiplier un par i donne i, et par définition, i fois i vaut moins un. Vous remarquerez que ces deux-là correspondent à une rotation de 90 degrés, et plus généralement, multiplier n’importe quelle valeur z par i a pour effet une rotation de 90 degrés. Et plus généralement encore, quand on multiplie par une constante complexe quelconque, l’effet est une combinaison d’agrandissement et de rotation. Et il y a une manière élégante de voir exactement de combien ça agrandit et ça tourne. Zéro fois n’importe quoi fait zéro, donc l’origine doit rester fixée, et puis un fois n’importe quelle constante c, c’est cette même constante c.

[00:15:02] Donc ça veut dire que ce point en un doit être déplacé pour tomber sur la constante c dont on parle, et ça détermine complètement la quantité d’agrandissement et de rotation. À partir de là, le reste de la grille reste aussi rigide que possible. Un point clé à souligner pour notre histoire, c’est que si on ne fait que multiplier par une constante, les formes sont toujours préservées. Tout ce qu’on pourrait vouloir dessiner, comme un carré, peut être agrandi ou tourné, mais à part ça, il n’y a pas de distorsion. Maintenant, les choses deviennent plus intéressantes avec des fonctions plus compliquées. Un exemple simple mais pas trivial, ce serait d’envoyer chaque nombre z sur z au carré. Donc l’entrée 2 doit se déplacer vers 2 au carré, c’est-à-dire 4. L’entrée i doit se déplacer vers i au carré, donc moins 1. Moins 1 lui-même doit être envoyé sur plus 1. Et dans toute sa richesse, voilà à quoi ça ressemble si je laisse chaque point entre les lignes de la grille de cet espace d’entrée se déplacer vers sa sortie correspondante. C’est un effet plutôt sympa, et contrairement à une multiplication par une constante,

[00:16:00] la forme n’est clairement plus préservée. Les lignes de la grille se courbent et se déforment. Mais, et c’est un point clé, faites attention à ce qui se passe à petite échelle. Par exemple, si on se concentre juste sur ce petit carré de l’espace d’entrée. Si vous regardez la transformation se refaire, vous voyez que la forme est approximativement préservée, au moins à une échelle assez petite. Les petits carrés de notre grille d’origine restent approximativement carrés même après être passés par la fonction. Pour employer le jargon, la fonction z au carré est conforme. Et le choix de z au carré n’a vraiment rien de spécial ici. Voilà ce que ça donne si on envoie chaque point z sur z au cube. Les carrés restent approximativement carrés. Bon, peut-être que ce petit carré d’exemple que je mets en évidence n’a pas exactement l’air carré dans la sortie, mais en vrai c’est juste parce qu’il était trop grand au départ. Pour être clair, cette propriété conforme dont je parle est une propriété de passage à la limite. Un carré donné ne devient peut-être pas exactement un carré, mais l’idée, c’est qu’en zoomant de plus en plus, en choisissant dans l’espace d’entrée des régions carrées de plus en plus petites, la sortie obtenue sera de mieux en mieux approchée

[00:17:02] par un carré. Et il n’y a rien de si spécial non plus dans le choix de polynômes comme z au carré ou z au cube. Pour à peu près n’importe quelle fonction de variable complexe qu’on pourrait écrire, cette propriété reste vraie. La forme est préservée à une échelle assez petite. C’est presque magique. L’usage des nombres complexes est très important ici. Si, à la place, on représantait les points du plan comme simplement une paire de nombres réels avec des coordonnées xy, et qu’on écrivait une fonction quelconque de x et y pour obtenir une nouvelle paire de nombres, ce qui est de très, très loin le cas le plus typique quand on laisse les points de cet espace d’entrée se transformer, c’est que les images de ces petits carrés se retrouvent écrasées et déformées. Même en zoomant de plus en plus, la forme limite obtenue ressemble en général à un parallélogramme, pas forcément à un carré. Donc, c’est en ça que les fonctions complexes sont vraiment spéciales. Et la raison profonde qui explique que les carrés restent carrés, ça touche à l’analyse différentielle Ce que vous voyez-là, c’est la définition même de ce que ça veut dire, pour ces fonctions, d’avoir des dérivées. Ca peut paraître un peu bizarre, mais l’analogie qu’on peut avoir en tête,

[00:18:02] c’est que pour la plupart des fonctions de nombres réels, si on les visualise de la façon habituelle, juste avec un graphe où les entrées sont sur l’axe des x et les sorties sur l’axe des y, alors quand on zoome de plus en plus sur n’importe quel point de ce graphe, ça ressemble de plus en plus à une droite. Autrement dit, le taux de variation, la quantité de delta f qu’on obtient pour un delta x donné, tend vers une constante. C’est littéralement ça qu’on entend quand on dit qu’une fonction a une dérivée, mais ce n’est pas la seule façon de le visualiser. Voilà une autre manière de voir le même concept. Au lieu de regarder le graphe d’une fonction, pensons à cette même fonction comme à une transformation. Autrement dit, on laisse chacun de ces points sur la droite réelle se déplacer vers sa sortie correspondante sur cette autre droite. Ce qu’on remarque, c’est que des points régulièrement espacés dans l’espace de départ peuvent être déformés dans l’espace d’arrivée, ce qui veut dire que le taux de variation de la fonction n’est en général pas constant. L’espacement entre nos points peut changer d’une partie de l’image à l’autre. Mais on sait que quand on zoome de plus en plus sur une sortie particulière,

[00:19:03] le taux de variation tend vers une constante. Les points ont l’air d’être espacés de façon de plus en plus régulière. Plus précisément, si on prend un tout petit morceau de points autour d’une entrée donnée et qu’on le recopie dans l’espace d’arrivée autour de la sortie correspondante, on peut aligner approximativement tous les points juste en multipliant tout par un certain facteur constant. C’est le même fait analytique que ce que vous dit la pente d’un graphe, juste dans un contexte visuel différent. Mais ce contexte se transpose beaucoup plus facilement aux fonctions à valeurs complexes vues comme des transformations dans le plan complexe. Là, on va voir le voisinage autour d’une entrée donnée comme une toute petite grille de points, comme tout à l’heure, et on laisse chaque point de cette grille se déplacer vers sa sortie correspondante. Dans ce cas, ce que ça veut dire pour le taux de variation de tendre vers une constante, c’est en gros exactement la même équation. L’image mentale à avoir, c’est que si on prend ce tout petit morceau de carrés autour

[00:20:00] de l’entrée et qu’on le recopie vers la sortie correspondante, on peut l’ajuster approximativement aux lignes de la grille d’arrivée en multipliant par une certaine constante, ce qui, rappelez-vous, dans le cadre des nombres complexes, veut dire le faire tourner et le dilater d’une certaine façon, selon la valeur de cette constante complexe. Comme une rotation et une dilatation préservent la forme, ça veut dire que tous les petits carrés de l’espace de départ restent au moins approximativement carrés sous cette transformation. Donc, si on prend un peu de recul, voilà l’idée clé, la raison pour laquelle on parle de tout ça. Même si les applications conformes comme celle qu’Escher utilisait pour sa galerie d’estampes sont incroyablement contraintes et très inhabituelles parmi toutes les façons générales de déformer continûment un espace bidimensionnel, malgré ça, comme par magie, le simple fait de parler le langage des nombres complexes permet d’engendrer des familles entières de ces applications conformes sans même vraiment le vouloir. Il suffit de combiner des fonctions complexes usuelles. La seule contrainte, c’est que ces fonctions doivent avoir des dérivées, mais ça sera vrai pour la plupart des fonctions qui nous viennent en tête.

[00:21:03] Pour notre histoire, comprendre ce qui se passe dans la galerie d’estampes, ça veut dire qu’on a une toute nouvelle façon de reformuler la question essentielle. Peut-on construire une fonction complexe délibérément taillée sur mesure pour que l’action de zoomer autour d’une entrée ressemble à une mise en abyme en sortie ? À ce stade, avec seulement le strict minimum d’un cours express d’analyse complexe en poche, c’est difficile de savoir par où commencer sans d’abord se construire une palette plus large de fonctions avec lesquelles travailler et sans se familiariser un peu avec leur comportement réel sur les nombres complexes. Dans ce cas-ci, il n’y a en fait que deux fonctions qu’il faut comprendre : e puissance z et le logarithme népérien. J’ai envie de prendre le temps et de passer un vrai moment à bien comprendre ces deux fonctions, et je pense que vous serez d’accord : c’est du temps bien investi. Tout le monde mérite, à mon avis, au moins une fois dans sa vie, de ressentir la joie de comprendre un logarithme complexe. Mais d’abord, il y a un prérequis indispensable : comprendre l’exponentielle complexe.

[00:22:00] Les habitués de la chaîne verront déjà à quoi ça ressemble d’élever e à la puissance d’un nombre complexe, mais une petite révision, ça ne fait jamais de mal. On peut commencer à construire cette transformation simplement en se concentrant sur les exemples plus familiers avec une entrée et une sortie qui sont des nombres réels. Par exemple, e à la puissance 0 vaut 1, donc ce point en 0 est envoyé sur ce point en 1. Et puis chaque fois qu’on augmente cette entrée de 1, la sortie est multipliée par e, ce qui veut dire qu’elle s’éloigne de nous assez vite en fait. Et à l’inverse, quand on diminue cette entrée, en la faisant passer dans les nombres négatifs, chaque pas vers la gauche correspond à une réduction de la sortie, là encore d’un facteur e. En particulier, vous remarquerez que dans ce cas la sortie est toujours un nombre positif. Bien sûr, ça devient bien plus intéressant quand on laisse à la fois les entrées et les sorties être des nombres complexes. Et là, tout ce qu’on a besoin de savoir se résume à ce qui se passe quand on augmente la partie imaginaire de l’entrée. Et ce qui se passe alors, c’est que la sortie correspondante se déplace le long d’un cercle.

[00:23:02] Si on se demande pourquoi des entrées imaginaires dans une exponentielle nous font parcourir un cercle comme ça, on en a déjà parlé très, très souvent sur cette chaîne. Allez voir les liens que j’affiche à l’écran ou dans la description. Un point essentiel que je veux redire ici, c’est que ce qui rend la fonction e à la puissance z très pratque, par opposition aux exponentielles de base différente, c’est que quand l’entrée monte à un rythme de 1 unité par seconde, la sortie tourne autour de son cercle à un rythme d’exactement 1 radian par seconde. Donc en particulier, augmenter la partie imaginaire d’exactement 2 pi provoque une rotation complète dans la sortie. Dit autrement, ces segments de droite verticaux que j’ai dessinés, de hauteur exactement 2 pi chacun, sont envoyés proprement sur un cercle complet quand on applique la fonction. Vous remarquerez que j’ai dessiné ces segments verticaux particuliers de façon à ce qu’ils soient régulièrement espacés dans la direction réelle, où la partie réelle augmente de 1 d’un segment au suivant. Les cercles correspondants à droite diffèrent chacun par un facteur d’échelle constant,

[00:24:01] plus précisément le facteur d’échelle e. Plus tôt, pour la fonction plus simple z au carré, je l’ai montrée comme une transformation, en déplaçant toutes les entrées vers les sorties. Et dans ce cas, pour e à la puissance z, si on est curieux de voir à quoi ressemble cette même idée, le plus simple est de prendre une partie de la grille, comme celle-ci dans l’espace d’entrée, et voilà à quoi ça ressemble quand on déplace chaque carré vers la sortie correspondante. Quand on utilisera vraiment cette fonction pour nos objectifs de galerie d’estampes, ce sera très utile d’ancrer dans votre esprit l’idée de ces droites verticales et des cercles en lesquels elles se transforment. En fait, il y a une manière assez ludique que j’aime bien d’imaginer comment ces droites verticales deviennent des cercles concentriques et comment elles peuvent emporter avec elles tout l’espace d’entrée. Ce que j’aime imaginer, c’est qu’on enroule en quelque sorte tout le plan z en un tube, de sorte que toutes ces droites verticales finissent par devenir des cercles. Plus précisément, chaque cercle aurait une circonférence de 2 pi. Ensuite, imaginez qu’on prenne ce tube, qu’on l’aligne au-dessus de l’origine de l’espace de sortie, puis qu’on l’écrase un peu sur cet espace de sortie,

[00:25:01] en transformant tous les cercles du tube en ces anneaux concentriques avec des tailles qui grandissent exponentiellement. C’est juste l’image qui me plaît, mais peu importe la façon dont on choisit de se la représenter, ce que je veux vraiment graver dans votre tête, c’est l’idée que des droites verticales deviennent des cercles. Maintenant, l’autre point très important à souligner ici, c’est que plusieurs entrées différentes peuvent arriver sur une même sortie. Par exemple, e puissance zéro vaut un, mais e puissance 2 pi i vaut aussi un. Et c’est pareil pour e puissance moins 2 pi i, e puissance 4 pi i, et ainsi de suite. En fait, la suite infinie le long de n’importe quelle droite verticale, avec un espacement de 2 pi, va se retrouver écrasée ensemble quand cette droite verticale s’enroule en quelque sorte en un cercle. On dit que l’application exponentielle est non-injective*, même si ce n’est peut-être pas évident tout de suite de voir en quoi cette répétition dans la direction verticale va être essentielle pour reconstruire à la fin l’effet de la galerie d’estampes. Donc, les exponentielles nous donnent un premier ingrédient, caractérisé par le fait qu’elles transforment des droites en cercles,

[00:26:02] et le deuxième ingrédient qu’il nous faut, c’est l’inverse d’une telle exponentielle, ce qu’on appelle le logarithme népérien, où l’idée, en gros, c’est qu’il déroule ces cercles pour en refaire des droites. Alors là, ça sera particulièrement sympa à visualiser, et particulièrement lié à notre histoire, si on imagine peindre ce plan complexe à droite avec une mise en abyme, disons l’exemple qu’on regardait tout à l’heure avec M. Pi qui regarde une image d’une maison où il habite lui-même. Autrement dit, il est enfin temps pour nous de répondre à cette question : qu’est-ce que ça veut dire, prendre le logarithme népérien d’une image ? Bon, réfléchissons-y une seconde. On sai déjà qu’un segment de droite verticale comme celui-ci à gauche, de hauteur 2 pi, se transforme en cercle quand on applique l’application e puissance z. Donc le logarithme népérien va prendre un cercle de points de cette image, puis le redresser en une de ces droites. De la même façon, si on regardait un cercle exactement e fois plus petit, lui aussi serait redressé en une droite de même hauteur, placée une unité plus à gauche.

[00:27:05] Et pareil, chaque cercle entre ces deux-là va être déroulé en une de ces droites verticales entre les deux précédentes et, plus généralement, des anneaux de plus en plus petits de l’image vont tous être déroulés en ces segments verticaux, chacun de hauteur 2 pi, de plus en plus loin vers la gauche dans l’image. Le résultat est un peu psychédélique, mais c’est quand même très chouette quand on y pense, et il y a pas mal de choses importantes que je veux que vous remarquiez. Vous avez sans doute remarqué que ça se répète quand on se déplace vers la gauche, et je vous laisse garder dans un coin de la tête la question de pourquoi c’est le cas, mais avant de parler de cette répétition-là, je veux parler d’une autre direction dans laquelle ça se répète. Dans la façon dont je l’ai dessiné pour l’instant, la partie imaginaire des valeurs à gauche va de 0 jusqu’à 2 pi, mais en fait c’est un choix un peu arbitraire. Rappelez-vous, si on augmente z à gauche encore de 2 pi, la valeur correspondante e puissance z à droite refera simplement le tour de ce même cercle, donc j’espère que vous serez d’accord :

[00:28:02] il est assez tentant de laisser notre image se répéter dans cette direction verticale le long de chacune de ces droites verticales. Et ça marche aussi dans l’autre sens : quand la partie imaginaire à gauche diminue en, la valeur correspondante à droite continue simplement de tourner autour de ce même cercle, donc le motif qu’on voit devrait peut-être aussi se répéter de cette façon. Pour être plus explicite, la règle que j’utilise pour dessiner cette image à gauche, c’est que pour chaque point z dans ce plan de gauche, on regarde la valeur correspondante e puissance z à droite, puis on lui attribue la même couleur. Donc par exemple, ce M. Pi déformé, puis celui-là, puis celui-là, correspondent en fait tous à la même partie de l’image à droite : le grand M. Pi en bas à gauche. Une autre façon de voir les choses, c’est que comme la fonction e puissance z est non-injective, on a l’impression que le logarithme népérien, son inverse, a envie d’être une fonction multivaluée, quelque chose où une entrée correspond à

[00:29:03] plusieurs sorties différentes. Or, en pratique, on ne veut souvent pas qu’une fonction ait plusieurs sorties ; parfois, en fonction du contexte, ça contredit même la définition d’une fonction. Du coup, on choisit souvent juste une bande de ce plan à gauche comme ensemble des sorties du logarithme népérien. En analyse complexe, on appelle ça choisir une coupure de branche pour la fonction. Mais pour ce qui nous intéresse ici, où on veut recréer et comprendre l’œuvre d’Escher, c’est en fait plus sympa de voir le log comme une fonction multivaluée, où chaque point à droite correspond à une suite répétée de points à gauche, espacés verticalement de deux pi, et qui s’étend à l’infini dans les deux directions. Or, dans notre cas particulier, on voit aussi ce motif répété quand on se déplace vers la gauche, mais ça, c’est encore autre chose. On ne verrait pas ça pour la plupart des images. Ça apparaît précisément parce qu’on travaille avec une mise en abyme, une image qui reste identique quand on zoome d’un certain facteur. Ça découle directement d’une propriété fondamentale des logarithmes et des exponentielles.

[00:30:04] Les exponentielles transforment l’addition en multiplication, et les logarithmes retransforment la multiplication en addition. Par exemple, imaginons qu’on prenne une petite valeur w sur ce plan à droite, et qu’on considère aussi 16 fois cette valeur, donc un point 16 fois plus loin de l’origine. Maintenant, si on regarde la valeur correspondante, le logarithme de w, à gauche, alors le fait de multiplier par 16 ressemble maintenant à une addition, plus précisément à un décalage vers la droite de ln 16, qui est simplement un certain nombre réel. En fait, ce rectangle ici, dans notre étrange image logarithmique déformée, qui a une largeur de ln 16 et une hauteur de 2 pi, contient toute l’information sur l’image de droite. Il correspond à cet anneau de l’image de départ, et si on décalait ce rectangle exactement de ln 16 unités vers la gauche, on obtiendrait une version réduite de cet anneau, exactement 16 fois plus petite,

[00:31:03] qui s’emboîte parfaitement comme une pièce de puzzle. Et si on répète ca une infinité de fois, on obtient cet emboîtement infini qui caractérise la mise en abyme. Dans la façon dont j’ai dessiné les choses pour l’instant, on a cette coupure de l’image logarithmique du côté droit, et à ce stade vous savez très bien que les droites verticales à gauche correspondent à des cercles à droite, donc vous devinez sans doute que ca correspond au fait que j’ai imposé un rayon maximal à cette image à droite, mais bien sûr on n’est pas obligé de faire ca. En principe, elle peut s’étendre infiniment loin dans toutes les directions, en suivant le même motif auto-similaire quand on zoome vers l’extérieur, et le résultat pour l’image logarithmique à gauche serait qu’elle s’étende aussi loin vers la droite qu’on veut, là encore avec un motif, un pavage, qui se répète. Donc pour conclure, l’image logarithmique à gauche est périodique verticalement, essentiellement parce que la rotation à droite est périodique. Ca, ça arriverait pour n’importe quelle image. Et puis dans ce cas particulier d’une image avec une mise en abyme, elle est aussi périodique horizontalement, parce que l’image se répète elle même

[00:32:03] quand on zoome. C’est cette propriété doublement périodique qu’on va finalement exploiter pour le résultat final. Et maintenant, on a toutes les bases qu’il nous faut. Je peux maintenant enfin vous décrire la fonction qui transforme la mise en abyme en cette boucle infinie à la Escher. Avant de se lancer directement là-dedans, on a quand même couvert pas mal de choses, donc ça vaut peut-être le coup de se laisser un peu de temps pour digérer. Et j’avais l’intention de prendre 30 petites secondes à un moment dans cette vidéo pour parler de 3b1b talent, donc c’est peut-être aussi bien maintenant, pour faire une pause. C’est le salon virtuel de l’emploi que j’expérimente cette année, et l’idée de base, c’est que vous, a priori une personne qui passe son temps libre à apprendre des choses genre les logarithmes complexes, vous avez probablement envie de travailler avec des équipes curieuses, techniques, et qui vous ressemblent. Donc si vous cherchez un nouvel emploi, ou si vous êtes ouverts aux opportunités, allez voir les organisations sur 3b1b.co. slash talent. Sur cette page, vous trouverez des entretiens entre moi et les équipes concernées, des casse-tête et défis techniques qu’elles ont choisi de vous présenter, et diverses autres choses pensées pour vous donner une idée de la culture de leurs

[00:33:02] équipes techniques. Et j’aime bien l’idée de vous exposer à des opportunités de carrière qui vous correspondent, donc chaque fois que vous cherchez du travail, que ce soit maintenant ou plus tard, pensez à aller voir. Bon, revenons à notre objectif principal. Comment est-ce qu’on peut utiliser tout ce qu’on a construit autour des fonctions complexes et des transformations qui donnent des applications conformes, et tout ca, pour construire une sorte de fonction qui recrée l’effet de la galerie d’estampes d’Escher ? Le plus simple, c’est peut-être que je pose directement le plan complet de la fonction, et ensuite on pourra détailler chaque étape. D’abord, on prend un logarithme, ce qui donne cet étrange pavage doublement périodique, puis on fait tourner et on redimensionne ce pavage exactement comme il faut, et ensuite on prend une exponentielle, ce qui le déforme à l’envers, mais cette fois avec une certaine torsion. Ca peut paraître un peu bizarre, mais il y a en fait une très belle façon de comprendre ce qui se passe vraiment ici. Revenez à l’image de base, et souvenez-vous qu’on veut prendre ce grand M.

[00:34:00] Pi et l’identifier d’une manière ou d’une autre à la copie d’elle même, mais plus petite, zoomée 16 fois. Je veux que vous imaginiez une ligne qui relie les deux. Une façon de formuler l’objectif qu’on a, c’est qu’on veut que la fonction finale transforme une telle ligne en une boucle fermée dans l’espace final. Les extrémités de la ligne en haut représentent la grande et la petite version de M. Pi, donc la fonction qui les identifie devrait au minimum refermer cette ligne. Maintenant, réfléchissons à l’allure de cette ligne dans le logarithme de l’image. Le grande M. Pi correspond à toutes ces copies ici, à côté de l’axe imaginaire. Comme on l’a dit, quand on réduit l’image, ça correspond à un décalage vers la gauche dans le logarithme, donc ces copies dans l’image logarithmique représentent la petite version de M. Pi. Et en fait, au lieu d’utiliser cette ligne horizontale, on va vouloir profiter du fait que cette image logarithmique est périodique dans deux directions distinctes. Donc à la place, on va travailler avec une ligne diagonale qui relie

[00:35:02] cette copie du grand personnage à cette copie en bas à gauche du petit. Sur le moment, ça peut sembler sortir de nulle part, et c’est le cas, mais le mieux pour expliquer pourquoi, c’est simplement de vous montrer comment ça se déroule, et ensuite, si vous voulez, on pourra comparer avec ce qui se serait passé si on avait essayé d’utiliser la ligne horizontale. Maintenant, cette nouvelle composante descendante dans l’image logarithmique correspond à l’ajout d’une certaine rotation horaire au trajet dans l’image d’origine. Rappelez-vous, notre objectif, c’est d’en faire une boucle dans l’image finale, mais heureusement, on vient de passer a peu près 10 minutes à parler en détail d’une fonction qui transforme justement des segments de droite en cercles, à savoir e puissance z. Ce qu’il faut faire, c’est ramener ce segment de droite à la verticale, et avec une hauteur de 2 pi, et au fond ça revient à le faire tourner et à le mettre à l’échelle exactement comme il faut pour lui donner cette longueur et cette direction. Si vous vous rappelez, quand on révisait les nombres complexes, on a parlé du fait que multiplier par une constante donne une combinaison de rotation

[00:36:00] et de changement d’échelle, et dans ce cas, une propriété visuelle qu’on pourrait aimer, c’est que notre grand M. Pi en bas à gauche reste fixe à cette position, et ça voudrait dire que ce point dans notre image logarithmique doit lui aussi rester fixe, donc au lieu de pivoter autour de l’origine, on veut vraiment que tout pivote autour de ce point. Disons qu’on note ce point quelque chose comme z zéro, alors voilà à quoi ressemblerait la formule mise à jour pour cette rotation et ce changement d’échelle, mais en vrai l’essentiel revient à choisir cette constante c par laquelle on va multiplier, et si vous aimez les exercices, ça peut vous amuser de prendre un moment pour déterminer quelle valeur précise cette constante doit avoir. Mais ici, comme on est dans quelque chose de très visuel et que j’ai envie de m’amuser un peu, laissez-moi vous montrer cette constante dans son propre petit plan complexe, puis aussi vous montrer ce qui se passe si je la saisis et que je la déplace un peu. Des choix différents donnent des changements d’échelle et des rotations différents, qui, après exponentiation, produisent toutes ces images kaléidoscopiques complètement bizarres. On peut voir toute l’opération comme une sorte de jeu où on essaie de trouver exactement

[00:37:03] la bonne valeur pour que tout s’aligne comme il faut dans cette image en bas à droite. Quand on la règle pile sur la bonne valeur et qu’on obtient bien cet effet à la Escher, dans l’image finale en bas à droite, je vous ai montré ce trou au milieu, similaire au trou qu’Escher a laissé dans son œuvre d’origine. Mais en fait, c’est entièrement artificiel. L’image de sortie de la fonction le remplit naturellement avec sa propre spirale à l’infini. Après tout, le motif de pavage tourné à gauche s’étend à l’infini dans tout le plan, donc quand on en prend l’exponentielle, ça remplit tout aussi, sauf le point zéro. Et c’est tout ! C’est l’opération de base. On traduit vers cet espace logarithmique à l’allure bizarre, on fait tourner et on met à l’échelle pour réaligner les choses, puis on revient avec une exponentielle. À ce stade, maintenant qu’on a recréé notre propre variation d’Escher, ça peut être sympa de parcourir ce à quoi ressemble ce même processus dans l’exemple précis d’Escher, cette ville côtière maltaise contenant

[00:38:01] une galerie d’estampes avec une personne qui regarde une image de la ville. Comme avant, l’étape numéro un consiste à placer cette scène sur son propre petit plan complexe, où le point limite infini autour duquel tout change d’échelle est placé en zéro. Étape deux, on prend le logarithme de ça, ce qui dans ce cas nous donne une transformation tout aussi bizarre de la scène entière, mais il y a une petite différence cette fois. Comme Escher travaillait avec un zoom bien plus profond, avec un facteur d’échelle de 256, les motifs répétés de ce nouvel exemple s’étendent en fait sur une plus grande partie du plan complexe. L’étape trois, encore une fois, c’est de faire tourner et mettre à l’échelle tout ça, ce qui revient à multiplier par le bon choix de constante complexe. La contrainte, c’est de faire en sorte que cette image tournée se répète toujours tous les 2 pi verticalement, mais le long d’une partie de l’image qui était auparavant diagonale. Et puis étape quatre, on fait passer tout ça dans e puissance z, et on obtient quelque chose de très proche de l’image finale d’Escher,

[00:39:01] une image où faire le tour d’une boucle revient à zoomer par un facteur 256. Et là encore, quand on présente ca comme ca avec des fonctions complexes, il n’y a pas de trou au milieu. Ce résultat final est lui-même une mise en abyme, mais cette fois avec une torsion, où il y a une sorte d’auto-similarité qui s’enroule en spirale à l’infini, aussi loin qu’on veut zoomer. Il y a deux ou trois choses qui valent le coup d’être remarquées dans tout ce processus. D’abord, si on écrit cette idée sous forme de formule, où on prend un logarithme, on le multiplie par une constante, puis on exponentie, on peut en fait simplifier tout ca pour que ca ressemble simplement à l’élévation de l’entrée à la puissance d’une certaine constante complexe. Et si on réintroduit ce facteur de décalage, ca ajoute juste une autre constante. D’un côté, c’est très satisfaisant de voir que tout ce processus compliqué peut se résumer à si peu de symboles sur la page, mais je pense quand même que ça risque de masquer un peu ce qui se passe vraiment. Et puis, j’avais mentionné que ca ne marcherait pas si on essayait d’utiliser seulement ces lignes horizontales. Si ca vous intrigue, voilà à quoi ca ressemble si on essaie ça,

[00:40:00] ce qui voudrait dire faire tourner tout de 90 degrés et le mettre à l’échelle comme il faut. On obtiendrait bien quelque chose d’assez intéressant, mais c’est juste pas ce qu’on cherche. Et si on y réfléchit, ce qui se passe en gros, c’est qu’on échange les rôles de la rotation et du changement d’échelle. En prenant un peu de recul, cette deuxième perspective, où tout tourne autour d’une rotation dans un espace logarithmique, donne une impression complètement différente de l’approche plus intuitive d’Escher avec sa grille déformée et sa déformation par maillage. Mais il y a un fil conducteur qui relie les deux points de vue. Déjà, on peut maintenant comprendre exactement comment on a recréé et modifié la grille qu’Escher avait. En gros, on prend cette même fonction qu’on a construite, mais au lieu de l’appliquer à une image, on l’applique à une grille carrée ordinaire. Bon, en fait, pas tout à fait une grille carrée ordinaire. Le plus pratique, c’est d’en prendre une qui devient plus dense à mesure qu’on zoome, pour qu’elle ait le même aspect à toutes les échelles. Quand on fait ca, le logarithme nous donne ce très beau pavage courbe. Et à partir de là, on refait le même petit tour,

[00:41:00] en tournant les choses exactement comme il faut puis en prenant une exponentielle, avec au final quelque chose de très proche de ce qu’Escher a passé de longues heures pénibles à construire. Et rappelez-vous, si on utilise le langage des nombres complexes, si je vous ai fait passer par tous ces détours, c’est parce que cette propriété conforme y apparaît naturellement. Les petits carrés de la grille d’origine restent, au moins approximativement, des carrés dans le résultat final. Escher a dit que réaliser cette œuvre lui avait causé de sacrés maux de tête, et même si vous et moi avons peut-être dû supporter quelques maux de tête nous aussi, mais pour des raisons très différentes, la récompense, c’est que cette propriété, on l’obtient sans effort supplémentaire. Bon, soyons clairs, on n’a évidemment pas besoin de comprendre les dérivées complexes ni les logarithmes pour apprécier l’œuvre d’Escher, et je voudrais pas laisser entendre le contraire. Par contre, quand on comprend ce côté plus mathématique, ça donne accès à une forme d’appréciation très différente de ce qu’Escher faisait vraiment. Et c’est ça que je trouve fascinant là-dedans, le vrai lien que je veux donner entre les deux fils de l’histoire.

[00:42:01] Si on regarde la carrière d’Escher, on voit qu’il a toujours été attiré par certains concepts, des choses comme représenter l’infini dans un espace fini. Et en même temps, il semblait guidé par une certaine esthétique, souvent une règle rigide implicite, comme l’idée que les petits carrés doivent rester de petits carrés dans ce maillage. Le résultat final, quand concept et esthétique se combinent comme ça, c’est qu’une œuvre d’Escher donne souvent l’impression d’être la solution d’une énigme, mais une énigme où il n’est même pas évident qu’une solution doive exister. Ce que je trouve si stimulant, c’est que les énigmes visuelles auxquelles il arrivait ne sont pas juste vaguement ressemblante au fait de faire des maths. Les structures précises vers lesquelles son intuition le guidait cachent souvent en elles-mêmes des mathématiques très réelles et très profondes. Dans notre exemple, la structure plus profonde, ce n’est pas juste que l’œuvre peut se décrire avec des fonctions complexes. Les idées qu’on a effleurées dans ce fil de l’histoire sont en fait bien plus proches qu’on pourrait le croire des frontières de la recherche. Si on repense à notre approche dans la deuxième moitié, rappelez-vous qu’elle reposait sur l’utilisation de ce motif doublement

[00:43:02] périodique dans le plan complexe, quelque chose qui se répète dans deux directions distinctes. Il existe en fait un nom spécial pour les fonctions de nombres complexes qui sont doublement périodiques comme ça. On les appelle des fonctions elliptiques. Ce serait beaucoup trop long d’expliquer ici exactement pourquoi ces fonctions sont si utiles, mais je veux au moins souligner une chose : les deux mathématiciens que j’ai mentionnés au début, ceux qui ont fourni l’analyse de cette œuvre, De Smit et Lenstra, sont tous les deux des arithméticiens, et les fonctions elliptiques jouent un rôle très important dans la théorie moderne des nombres, en servant de sorte de pont vers d’autres branches des mathématiques. Ça explique peut-être au moins en partie comment ils ont pu regarder cette œuvre et penser à construire la fonction qu’on a présentée ici. Quand je regarde le travail d’Escher, que ce soit Galerie d’estampes ou beaucoup d’autres œuvres que j’adore, la raison pour laquelle je les aime autant, c’est qu’elles réveillent en moi une sensation très particulière qu’on trouve difficilement ailleurs. C’est la sensation que tout s’emboîte parfaitement. Mais c’est pas exactement ça. C’est quelque chose de plus que le simple plaisir de voir un casse-tête résolu.

[00:44:02] C’est une admiration pour le génie créatif qu’il faut, simplement pour imaginer le casse-tête à la base. Le seul autre endroit où j’ai cette sensation, c’est quand je fais des maths. Donc le fait qu’un artiste et un mathématicien puissent être attirés par les mêmes structures, mais pour des raisons complètement différentes, ça me suggère qu’il y a quelque chose d’universel dans ce qui les attire vraiment tous les deux.